Bantu Belajar

Sabtu, 18 Oktober 2014

Persamaan Gerak ( Posisi, Perpindahan, Kecepatan & Percepatan )

Gerak benda dapat dinyatakan dalam tiga persamaan, yaitu  Posisi  sebagai fungsi waktu  r(t),  Kece... thumbnail 1 summary
Gerak benda dapat dinyatakan dalam tiga persamaan, yaitu Posisi sebagai fungsi waktu r(t), Kecepatan sebagai fungsi waktu v(t), dan Percepatan sebagai fungsi waktu a(t). Posisi, kecepatan dan percepatan memiliki kaitan erat, jika suatu benda dinyatakan dalam posisi, kecepatan benda dan percepatannya dapat ditentukan. Begitupun juga jika suatu benda dinyatakan dalam kecepatan atau percepatan.

1. Posisi dan Perpindahan

Posisi dan Perpindahan

Posisi didefinisikan sebagai kedudukan benda terhadap titik acuan. Titik acuan adalah titik asal (0,0) dalam koordinat bidang xy. Secara matematis Posisi dituliskan sebagai berikut :

Rumus Posisi
Maksud dari î adalah vektor satuan, berturut - turut dalam arah x dan y.

Besar suatu panjang dari vektor "r" dapat diketahui menggunakan Teorema Phytagoras, yakni :

Rumus Besar Posisi
Sementara untuk arah vektor r terhadap sumbu x adalah :

θ = arc tan y/x

Contoh Soal : 

Sebuah partikel bergerak pada bidang datar xy dari titik P(2,4) ke titik Q(6,3) dengan lintasan sembarang. Tentukan : 

1. Persamaan vector posisi di P dan Q
2. Perpindahan titik tersebut dari P ke Q
3. Besar dan arah perpindahannya 

Penyelesaian :

1. Vektor Posisi P :  r1 = xî + yî
                                 r1 = 2î + 4î
    Vektor Posisi Q : r2 = xî + yî
                                 r2 = 6î + 3î

2. 
Penyelesaian Posisi

3. Karena kita mencari Besar maka kita menggunakan rumus Phytagoras sedangkan untuk arah kita menggunakan Rumus arah ( arc tan y/x ).
Penyelesaian soal posisi

2. Kecepatan Rata - rata dan Kecepatan Sesaat

a. Kecepatan Rata -rata

Kecepatan rata - rata didefinisikan sebagai perpindahan benda setiap waktu. Maka Kecepatan rata - rata benda tersebut adalah :
Rumus Kecepatan Rata - rata
b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat adalah turunan dari fungsi posisi terhadap waktu. jadi rumus untuk kecepatan sesaat yaitu :

Rumus Kecepatan Sesaat
Contoh Soal :

Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang datar dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel ini berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = ( 5t2 + 9 ) î + (2t2 + 12) j dan v = ( 5t ) î + ( 2t ) j dengan r dalam meter dan t dalam sekon.

a. Kecepatan partikel saat t = 0 sekon dan t = 2 sekon
b. Kecepatan rata - rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon
c. Besar Kecepatan rata - rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon

Penyelesaian :

a. Kecepatan sesaat
    Saat t = 0 sekon : v = ( 5t ) î + ( 2t ) j
                                 v = ( 5(0) ) î + ( 2(0) ) j
                                 v = 0 î + 0 j
    Saat t = 2 sekon : v = ( 5t ) î + ( 2t ) j
                                 v = ( 5(2) ) î + ( 2(2) ) j
                                 v = 10 î + 4 j

b. Setelah Kecepatan saat t = 0 dan t = 2 sekon diketahui maka kita kurangkan sesuai variable î dan j

Kecepatan rata - rata

c. Untuk menentukan besar suatu partikel kita menggunakan rumus Phytagoras jadi :
Besar Kecepatan rata - rata

3. Percepatan Rata - rata dan Percepatan Sesaat

Percepatan didefinisikan sebagai perubaahan kecepatan benda tiap satuan waktu. Percepatan dibagi menjadi 2 yaitu ..

a. Percepatan Rata -rata

Percepatan rata - rata yaitu perubahan kecepatan tiap satuan waktu. Rumusnya yaitu ..
Rumus Percepatan Rata - rata
Contoh Soal :

Diketahui v = ( 3t+9 ) î + (6t+9t) j, tentukan percepatan rata - rata partikel selang waktu 1 sekon hingga 4 sekon

Penyelesaian :


Soal Percepatan Rata - rata

Soal Percepatan Rata - rata













b. Percepatan Sesaat

Percepatan sesaat adalah percepatan dalam selang waktu sangat kecil atau mendekati 0.
Rumus Percepatan Sesaat
Rumus Percepatan Sesaat

4. Besaran turunan dan Integral sederhana



Dalam memecahkan persoalan persamaan gerak, integral merupakan alat bantu matematis yang diperlukan. Jika suatu benda diketahui posisinya (r) maka untuk merubah ke dalam kecepatan (v) kita turunkan 1 kali dan jika dari posisi (r) ke percepatan (a) kita turunkan 2 kali dan jika dari kecepatan ke percepatan maka kita turunkan 1 kali.

Dan untuk Integral jika suatu benda diketahui percepatan (a) maka untuk mencari kecepatan (v) kita Integralkan 1 kali dan 2 kali jika kita ingin mencari posisi (r).

Besaran turunan dan integral

Jika ke atas 1 kali maka Integralkan 1 kali, begitupun juga ke atas 2 kali Integralkan 2 kali. Dan sama halnya seperti Integral Jika ke bawah 1 kali maka Turunkan 1 kali, begitupun juga ke atas 2 kali Turunkan 2 kali. 

Contoh Soal Turunan :

Diketahui r(t) = ( 3t2 − 2t  ) î + ( 4t− 4t ) j, Tentukan Kecepatan ( v ) dan Percepatan ( a )


Penyelesaian :

Kecepatan :
r(t) = ( 3t2 − 2t  ) î + ( 4t− 4t ) j
v(t) = ( 3x2 t − 2 ) î + ( 4x3 t2 − 4 ) j
v(t) = ( 6t − 2 ) î + ( 12t2 − 4 ) j

Percepatan :
v(t) = ( 6t − 2 ) î + ( 12t2 − 4 ) j
a(t) = 6 î + ( 24t )  j

Contoh Soal Integral :

Diketahui a(t) = ( 4 − 2t  ) î + ( 6t − 3 ) j, Tentukan Kecepatan ( v ) dan Percepatan ( a )

Penyelesaian :

Kecepatan :

contoh soal turunan

Posisi :


contoh soal integral

Berjam - jam buat akhirnya selesai :D, moga dapat bermanfaat yah tunggu update selanjutnya :)